2. 数学方法
本文最后更新于 2024年1月27日 下午
数学方法
矩阵的运算
矩阵的乘法
矩阵的乘法规则：前一矩阵的行乘后一矩阵的纵列若A是一个\(m \times n\)的矩阵，B是一个\(a \times b\)的矩阵，那么矩阵乘法\(A \times B\)的结果将会是一个\(n \times a\)的矩阵
要注意\(A × B=0 ⇏A=0 ~or~ B=0\) \(AB \not ={} BA\),但是\((AB)C=A(BC)\)
矩阵与向量的乘法可以改写,用如下例子来做表示： \(A=\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 1 \\\ -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right] B=\left[\begin{smallmatrix}1 \\\ -1 \\\ 1\end{smallmatrix}\right]\) 有\(A\times B=1×\left[\begin{smallmatrix}1 \\\ -1\end{smallmatrix}\right]+(-1)×\left[\begin{smallmatrix}2 \\\ 0\end{smallmatrix}\right]+1\times \left[\begin{smallmatrix}1 \\\ 2\end{smallmatrix}\right]\) 称B是A的一组线性组合
转置、对称
\(A^T\)表示A的转置，即A行列交换后的矩阵。 有\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\) 方阵：A为一个正方形矩阵:\(m×m\) 单位矩阵：，其余元素为0的方阵，有\(AI=IA=A\) 若\(A^T=A\),称A是一个对称矩阵(Symmetric matrix)，若\(A^T=-A\)，称A是一个交错矩阵(Skew-symmectric matrix)
矩阵的逆
有矩阵\(A^{-1}A=I\),称矩阵\(A^{-1}\)为矩阵A的逆。奇异矩阵不可逆。运算规律：
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}\)
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
矩阵方程的解法
对于任何一个线性方程组可以改写成：
$$ Ax=b
$$
A是系数矩阵，x是参数向量，b是方程组右边组成的常数向量 解方程只需要求出\(x=Ab\)
- 线性无关 如果A的列向量\(a_1,a_2,a_3...a_n\)的线性组合为0：
$$ λ_ia_i=0
$$
称这些向量是线性无关的。 A中线性无关列向量的最大数目表示A的秩(Rank) \(Nul(A)\)表示线性齐次方程\(Ax=0\)的解集，它的维度称为零度(Nullity) 如果 \(RanK(A)+Nullity(A)=columns~of~A\)，可以判断A是可逆的。
正交(Orthogonal/Perpenticular)
两个向量\(x,y\),如果\(x^Ty=0\)，称这两个向量是正交的。 如果一个向量集\(b_1,b_2,b_3...b_n\)中的任意两个元素 \(b_i^Tb_j=\begin{cases} 1, i=j \\ 0, i \not =j \end{cases}\) 称这个向量集是标准正交集(Orthonormal) 若矩阵Q，\(Q^TQ=I\)称Q是正交的，它所有的列向量都是正交的
行列式计算
det(A)或者|A|记作A的行列式,在Python中可以用numpy库中的函数进行运算。计算性质：
- \(det(AB)=det(A)det(B)\)
- \(det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\) 所以det(A)=0时，A不可逆
- \(det(A^T)=det(A)\)
- \(det(kA)=k^ndet(A)\),\(A_{n \times n}\)
- \(det(A)=Πλ_i\)
特征值/特征向量
若有\(Ax=λx\),λ称为A的特征值(Eigenvalue)，x称为A的特征向量(Eigenvector)
特征值可能是一个复数，矩阵的特征向量/特征值可能有几个是相同的 \(kλ\)和\(kx\)仍然是A的特征值和特征向量，所以默认解出的特征向量的模长(Norm)为1。
求解特征值/特征向量 通过\(det(A-λI)=0\)，求解\(λ\),再代回\(Ax-λx=0\)求解x
谱分解(Spectral Theorem) A所有的特征值和特征向量可以写成一个矩阵方程：
\[ A \begin{bmatrix} x_1&x_2&...&x_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1&x_2&...&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} λ_1 &&&&\\ &λ_2\\&&λ_3\\&&&... \end{bmatrix}\]
\(\begin{bmatrix} λ_1 &&&&\\ &λ_2\\&&λ_3\\&&&... \end{bmatrix}\) 称为A的对角矩阵(Diagonal matrix)\(Λ\) 记作\(AE=EΛ\) 如果E是可逆矩阵，\(A=EΛE^{-1}\) 如果A是对称矩阵，有\(E^{-1}=E^T\),\(A=EΛE^T\) 在机器学习中，A常常是对称的，而且所有的特征值都是实数
迹(Trace)
矩阵A的：
$$ tr(A)=a_{ii}
$$
它在数值上也等于所有特征值的和：
$$ tr(A)=λ_{i}
$$
计算性质：
- \(tr(AB)=tr(BA)\)
- \(tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)
伪逆矩阵(Pseudo-inverse)
当A不可逆时，要解决\(Ax=b\),转写为\(x=A^{-1}b\)的形式求解x看似不可能，因此构造矩阵\(A^{+}\),使得\(x=A^{+}b,Ax-b\)的模长最小，\(A^+\)称为A的伪逆矩阵。
$$ A+=(ATA){-1}AT
$$
$$ A+A=(ATA){-1}ATA=I
$$
$$ AA^+=A (ATA){-1}A^T=I
$$
在Python中pinv(A)可以实现求解伪逆矩阵
矩阵的导数
矩阵的导数满足如下性质：
- \(\frac{d}{dx}Ax=A^T\)
- \(\frac{dx}{dx}=I\)
- \(\frac{y^Tx}{dx}=\frac{dx^Ty}{dx}=y\)
- \(\frac{d(x^TAx)}{dx}=\begin{cases} (A+A^T)x,\text{A is square}\\2Ax,\text{A is symmetrix} \end{cases}\)
- \(\frac{d(u^T(x)~v(x))}{dx}=[\frac{du^T}{dx}]v+[\frac{dv^T}{dx}]u\)
- \(\frac{d~tr(A)}{dA}=I\)
- \(\frac{det(A)}{dA}=det(A)(A^{-1})^T\)
伪逆矩阵证明当A为奇异矩阵时，求解\(Ax=b\):定义误差(error)\(e=Ax-b\)，要使得\(|e|\)尽可能小：设\(y=|e|^2\)，有： \[\begin{aligned} y & =e^Te \\ & =(Ax-b)^T(Ax-b) \\ & =(Ax)^T(Ax)-(Ax)^Tb-b^T(Ax)+b^Tb \\ & =x^TA^TAx-2b^T(Ax)+b^Tb \\ \end{aligned}\] 对y求导：\(\frac{dy}{dx}=2A^TAx-2A^Tb+0\)
第一项，\(A^TA\)是一个对称矩阵，可以应用#4. 第二项，应用#3 第三项，\(b^Tb\)是一个常数
令\(\frac{dy}{dx}=2A^TAx-2A^Tb=0\)：
\[ A^TAx=A^Tb \]
\[ (A^TA)^{-1}A^Tb=A^+b \]
在Python中，linalg.solve(A,B)能够求解\(x=A^+b\)
概率论的基础概念
随机变量
随机实验是一种能够产生随机结果的可重复性实验，样本空间\(S\)表示随机实验中所有可能出现的结果构成的集合，事件(Event)是样本空间S的子集。
随机变量(Random variables)是将S对应到实数集的一种函数，概率分布函数(MPF)表示X在样本空间中所发生的概率与X之间的关系。概率密度函数(PDF)表示样本空间中概率分布的稠密程度。
常见的随机分布
*具体翻阅概率论笔记，此处不再赘述。 两点分布(Bernouli)
几何分布(Geometric)
二项分布(Binomial)
泊松分布(Poisson) 均匀分布(Uniform)
指数分布(Exponential)
双指数分布(Laplace/Double Exponential): \(F(x)=\frac{λ}{2}e^{-λ|x|},λ>0\)
正态分布(Gaussian/Normal)其他分布函数概念 联合概率密度/联合分布函数(Joint PDF)
边缘分布函数(Marginal PDF)
条件概率函数(Conditional PDF)
贝叶斯公式
全概率公式的逆公式，表示已知B事件发生的概率下，在A中某一个划分下发生的概率： \[P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{ΣP(A_i)P(B|A_i)}\]