03. 信号的傅里叶级数

信号的傅里叶级数

信号变换

分解、响应、叠加是信号与系统中最基础的信号处理方式。对信号的变换思路来源于时域内的信号\(f(t)\)是以时间为变量的函数方程，在时域内噪声和有用信号往往是同时发生的，难以将噪声从信号中剥离，因此需要对信号进行变换，将信号从时域变换到频域（以频率为自变量的空间，频域中的信号可以表示为\(H(ω)\)），通过频率的不同就能利用滤波器将噪声剥离。
## 正交分解
### 正交函数与正交函数集
在信号领域，如果两个信号在\((t_1,t_2)\)内有\(∫_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0\)，称两个信号是正交的。
如果有n个函数构成的函数集：\(\{ϕ_1(t),...,ϕ_n(t)\}\)在\((t_1,t_2)\)内有：
\[∫_{t_1}^{t_2}ϕ_i(t)ϕ_j(t)dt=\begin{cases} 0,i\not=j \\ K_i \not= 0, i=j \end{cases}\]
称这是一个正交函数集。
如果在这个函数集以外找不到任何的另外一个函数满足其与集内函数两两正交，称这个函数集是一个完备的正交函数集。
三角函数集\(\{1,cosnΩt,sinnΩt\}\)就是一个完备的正交函数集。 ### 信号的正交分解 正交分解是最简单的一种信号分解方式，任何一个函数\(f_1(t)\)都可以用\(n\)个两两正交的函数的线性组合来近似。 有：
\[f_1(t)=∑C_iϕ_i(t)+f_e(t)\] 这样的分解方式称为信号的正交分解，即将目标信号\(f_1(t)\)分解为若干个正交信号的线性组合和误差信号\(f_e(t)\)，简化表示方法：
\[f_2(t)=∑C_iϕ_i(t)\]
此时的\(f_2(t)\)不在具有限定性，是一个任意的函数。进一步得到任何一个信号\(f_1(t)\)都可以用一个加权的信号\(f_2(t)\)与误差信号\(f_e(t)\)表示：
\[f_1(t)=C_{12}f_2(t)+f_e(t)\] \(C_{12}\)是\(f_2(t)\)的权重，称为相关系数。\(f_e(t)\)是拟合误差。
判断拟合是否准确的标准是拟合误差的均方值，当拟合误差的均方值最小时，信号拟合度最高，均方值表示为：
\[\overline{ϵ^2}=\overline{f^2_e(t)}=\frac{1}{t_2-t_1}∫_{t_1}^{t_2}f_e^2(t)dt\]
对其求导令方程等于0，可以解出：
\[∫_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dC_{12}}[f_1^2(t)-2C_{12}f_2(t)f_1(t)+f_2^2(t)C_{12}^2]dt=0\] 要使方程为0，必须每一项都为0，最终解得：
\[C_{12}=\frac{∫_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt}{∫_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt}\] 但是正交分解依赖于\(f_2(t)\)的选取，如果于\(f_2(t)\)选取的不恰当，拟合度往往不高，在分解时容易丢失\(f_1(t)\)中有用的信息，因此需要其他更加准确的方法对信号进行分解。通过数学方法可知，当\(f_2(t)\)是一个完备正交集的线性组合时，此时的拟合效果是最好的。
## 信号的傅里叶级数
周期信号\(f(t)\)在一个周期内可以展开为在完正交信号空间中的无穷级数。而三角函数集正好就是一个完备正交集，因此将信号分解为三角函数集是一种理想的正交分解方法。 高等数学中，任何满足有界可积，有有限个间断点（狄利赫里条件）的函数都可以被描述为傅里叶级数：
\[f(t)=a_0+∑_{n=1}^{∞}[a_ncos(nω_1t)+b_nsin(nω_1t)]\] 在信号中，\(a_0\)称为直流分量，是函数在周期内的均值。
\[a_0=\frac{1}{T}∫_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt\]
> 有时定义傅里叶级数的第一项为\(\frac{a_0}{2}\)，此时\(a_0=\frac{2}{T}∫_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt\)。

\(a_n\)称为基波分量，是一个偶函数:
\[a_n=\frac{2}{T}∫_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nω_1t)dt\]
\(b_n\)称为谐波分量，是一个奇函数:
\[b_n=\frac{2}{T}∫_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin(nω_1t)dt\]
#### 傅里叶级数的三角变形
- 余弦函数形式 \[f(t)=c_0+∑_{n=1}^∞c_ncos(nω_1t+ϕ_n)\]
其中\(c_0=a_0\),\(c_n=√{a_n^2+b_n^2}\)，\(ϕ_n=arctan(-\frac{b_n}{a_n})\)。

参数

• 幅值 \[|F(nω_1)|=√{a_n^2+b_n^2}\]
  
• 相位
  \[ϕ_n=acrtan(-\frac{b_n}{a_n})\]

傅里叶级数的指数形式

周期函数能够被分解为指数信号的线性组合，因此： \[f(t)=∑F(nω_1)e^{jnω_1t}\] 其中：
\[F(nω_1)=\frac{1}{T}∫_0^Tf(t)e^{-jnω_1t}dt\] 代入欧拉公式：
\[F(nω_1)=\frac{1}{T}∫_0^Tf(t)cos(nω_1t)-jf(t)sin(nω_1t)dt\] 可以得到 \[F(nω_1)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)\]
\[a_n=F_n+F_{-n}\] \[b_n=j(F_n-F_{-n})\]

需要注意的是负的频率/角频率\(-ω_1\)实际并不存在，只用作数学分析。

参数

• 幅值 \[|F(nω_1)|=\frac{1}{2}√{a_n^2+b_n^2}\] 指数形式的幅值是三角形式幅值的\(\frac{1}{2}\)。
  指数形式的傅里叶级数的幅值函数是一个偶函数。
  
• 相位 \[ϕ_n=acrtan(-\frac{b_n}{a_n})\]
  指数形式的傅里叶级数的相位函数是一个奇函数。

奇偶周期函数的傅里叶级数

只需要将奇偶性带入\(a_n\),\(b_n\)即可。
对于奇谐/偶谐函数则需要分n的奇偶性进行讨论。