05. 时域分析方法（微分/差分方程·卷积）

时域分析方法（微分/差分方程·卷积）

微分/差分方程的解

从本节开始：
名词“系统输入”与“系统激励”等同，系统输出与系统响应等同。
在定积分中$$表示从-∞到∞的积分，$$表示从-∞到∞的和。

线性时不变系统可以用一个关于激励($$)和响应($$)的$$阶微分/差分方程对其描述。
$$阶在电路中的具体表现为$$个电容/电感。

$$
这个方程的解由齐次解和特解两部分组成，齐次解与特解的和构成方程的全解。
### 齐次解 当输入全部为0时，得到的方程：$$，称之为特征方程。
由特征方程得到的解称为齐次解。齐次解表示系统的零输入响应。

求齐次解

1. 将特征方程转化为多项式并求解。
   对于微分方程的特征方程，其$$阶微分项可以被换元为$$项，最终将特征方程转化为关于$$的$$阶多项式。
   对于差分方程的特征方程，其0阶差分项$$可以被换元为关于$$的最高幂项，如此类推，最终将特征方程转化为关于$$的$$阶多项式。
   

2. 根据多项式的解的个数和是否有重根，可以在下表中找到齐次解的形式，并带入多项式的解。
   

3. 将齐次解带入已知方程的特解（通常是系统的零状态响应），利用对应阶数项系数相等，求出齐次解中的常系数。

   不同特征根所对应的齐次解（微分方程）

   特征根	齐次解$$
   单实根	$$
   r重实根	$$

   不同特征根所对应的齐次解（差分方程）

   特征根	齐次解$$
   单实根	$$
   r重实根	$$

特解

当激励为特定的值或者是函数时，方程的解称为特解。
#### 求特解 1. 带入具体的激励$$到系统的微分/差分方程。 2. 通过0阶项$$与激励中最高次数项之间系数的关系，用待定系数法猜想系统响应$$的结构。 3. 将$$的结构代回微分/差分方程，利用对应阶数项系数相等建立方程，解出$$结构中的常系数。

如果已知了一些特解，求另一些特解，可以使用迭代法。
即从$$开始列出微分方程，直到列到所求的特解对应的微分方程，将已知的特解带入，从而求出未知的特解。

卷积

零状态响应和零输入响应

在第二讲中对零状态响应和零输入响应以及线性关系进行过介绍，值得注意的是：零状态响应$$和零输入响应$$是相互独立的，即任何的输入只会影响到零状态响应中t的取值，而不会影响零输入响应中t的取值。
零输入响应与系统方程的通解有关，零状态响应与系统方程的特解/非齐次解有关。
两者可以通过解非齐次的微分/差分方程得到，解微分/差分方程的通用方法是卷积。
### 卷积方法 在连续系统中，定义$$ 为卷积符号，定义卷积运算：
$$
由于任何信号都可以被分解为$$个宽为τ，高为$$的门信号，在$$非常小的时候可以认为$$，因此任何的信号都可以用与冲激信号的卷积来表示：
$$

几何意义

两个信号$$$$卷积的几何意义是： 将其中一个图像左右翻转，然后从$$处向右平移，平移过程中两个函数图像重叠面积的变化即为卷积图像。

计算性质

基本性质：交换律，结合律，分配率。
微分和积分特性： $$

$$
注：$$表示对$$作n次微分，m次积分。

与冲激函数或阶跃函数卷积

1. $$
2. $$
3. $$

卷积和

在离散系统中，定义卷积和： $$ 任何的离散序列都可以用其自身与单位序列的卷积和表示： $$

卷积和也同样满足如上的计算性质和一些特殊的卷积结果：
$$

$$

冲激响应和单位序列/取样响应

一个连续的LIT系统零状态下输入单位冲激函数$$，所引起的响应称为单位冲激响应，记作$$。 冲激响应是$$时微分方程的特解。
连续系统的零状态响应$$可以表示为系统输入$$与单位冲击响应$$的卷积：
$$

一个离散的LIT系统零状态下输入单位序列$$，所引起的响应称为单位取样响应，记作$$。 连续系统的零状态响应$$可以表示为系统输入$$与单位冲击响应$$的卷积：
$$

阶跃响应

一个LIT系统零状态下输入单位阶跃函数$$所引起的响应称为单位阶跃响应，记作$$。 由$$, $$
卷积积分需要满足条件$$，由于对阶跃函数$$，$$，因此阶跃响应通从用于决定卷积积分的上下限。