06. 能量·周期信号的傅里叶变换·采样

能量·周期信号的傅里叶变换·采样

连续信号的能量

巴塞瓦尔定理

信号\(x(t)\)所带有的能量能够用关于其傅里叶变换\(X(jω)\)模（频域上的幅值）的积分函数表示：
\[E=∫|x(t)|^2dt=\frac{1}{2π}∫|X(jω)|^2dω\] >\(X(jω)\)是一个复频率函数表示其带有相位

能量谱

一个信号\(f(t)\)的能量谱函数\(P\)是频域上各谐波幅值平方的和。
\[f(t)=∑|F(nω)|^2\] 能量谱密度函数：
\[P(ω)=\lim_{T→∞}\frac{|F_T(ω)|^2}{T}\]

维纳-辛钦定理*

定义复信号\(f(t)\)的自相关函数\(R(τ)\): \[R(τ)=\lim_{T→∞}\frac{1}{T}∫f(t)f^*(t-τ)dt\] 有如下结论：
能量谱密度函数是自相关函数的傅里叶变换。 \[P(ω)=F[R(τ)]\]

时域和频域的对应性质

卷积与乘法（卷积理论）

时域中两函数相乘⇔\(\frac{1}{2\pi}\)频域中两函数的傅里叶变换卷积 \[f_1(t)f_2(t)⇔\frac{1}{2\pi}F_1(ω)*F_2(ω)\] 时域中两函数卷积⇔频域中两函数的傅里叶变换相乘
\[f_1(t)*f_2(t)⇔F_1(ω)F_2(ω)\] 应用： 1. 求谱密度函数 2. 求\(∫_{-∞}^tf(τ)dτ\)的傅里叶变换：
\(∫_{-∞}^tf(τ)dτ=∫_{-∞}^{∞}f(τ)u(t-τ)dτ=f(t)*u(t)⇔F[f(t)]F[u(t)]\) 3. 系统的零状态响应可以表示为\(r(t)=f(t)*h(t)⇔F(ω)H(ω)\) 两个离散序列\(x(n)\),\(h(n)\)的卷积可以表示为卷积和： \[x(n)*h(n)=∑x(m)h(n-m)\]

周期性和连续性

时域	频域
周期信号	离散频谱
非周期信号	连续频谱

一般连续周期信号的傅里叶变换方法及推导

设一个连续周期信号\(f_T(t)\)，其可以分解为傅里叶级数(指数形式)：\(f_T(t)=∑F(nω_1)e^{jnω_1t}\)。
对其做傅里叶变换： \[\begin{aligned} F_T(ω) &= F[f_T(t)]\\ & = F[∑F(nω_1)e^{jnω_1t} \\ & = ∑F(nω_1)F[e^{jnω_1t}] \\ ∵ F[1]& =δ(ω)\\ ∴ F[e^{jnω_1t}]&=2πδ(ω-nω_1) \text{ (timeshifting)} \\ ∴ F_T(ω) &= 2πδ(ω-nω_1)∑F(nω_1) \end{aligned}\]
即连续周期信号\(f_T(t)\)傅里叶变换：
\[F_T(ω) = 2πδ(ω-nω_1)∑F(nω_1)\]

因此如何找到\(F(nω_1)\)成为了解决连续周期信号的关键。
### 由非周期频谱推导周期频谱 设周期频谱\(F(nω_1)\)可以根据周期分解为\(n\)个非周期子频谱\(F_0(ω)\):
由\(F(nω_1)=\frac{1}{T}∫_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_0(t)e^{-jnω_1t}dt\)，有 \[F(nω_1)=\frac{1}{T}F_0(ω)|_{ω=nω_1}\]

常见周期信号的频谱

单位冲激序列

由无数个强度为1的冲激信号组成的周期信号\(δ_T(t)\)：
\[\begin{aligned} F(nω_1)&=\frac{1}{T_1}F_0(ω)|_{ω=nω_1} \\ &=\frac{1}{T_1}×1\\ &=\frac{1}{T_1} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} F(ω)&=2πδ(ω-nω_1)\frac{1}{T_1}\\ &=ω_1δ(ω-nω_1) \end{aligned}\] 因此,任何周期信号都可以看做是子信号\(f_0(t)\)与\(δ_T(t)\)的卷积。 \[f(t)=f_0(t)*δ_T(t)↔F(ω)=F_0(ω)F[δ_T(t)]\] ### 周期方波序列 由若干个方波\(G(t)=u(t+τ)-u(t-τ)\)组成的周期信号:
\[F(nω_1)=\frac{Eτ}{T}Sa(\frac{nω_1τ}{2})\] \[F(ω)=Eτω_1∑Sa(\frac{nω_1τ}{2})δ(ω-nω_1)\]

三角函数信号

由\(F[1]=δ(ω)\)及其时移特性： \(F[e^{jnω_1t}]=2πδ(ω-nω_1)\),\(F[e^{-jnω_1t}]=2πδ(ω+nω_1)\)可以推导。

正弦信号：\(f(t)=sin(ω_0t)\)
\[sin(ω_0t)=\frac{1}{2j}(e^{jω_0t}-e^{-jω_0t})\]
\[F(ω)=-jπδ(ω-ω_0)+jπδ(ω+ω_0)\] 余弦信号：\(f(t)=cos(ω_0t)\)
\[cos(ω_0t)=(e^{jω_0t}+e^{-jω_0t})\]
\[F(ω)=πδ(ω-ω_0)+πδ(ω+ω_0)\]

采样与重构

模拟信号转数字信号

模拟信号\(f(t)\)转换为数字信号经过三步： 1. 取样 2. 量化 3. 编码

其中取样的本质是\(f(t)\)与一个周期信号\(p(t)\)相乘。 \[f_s(t)=f(t)p(t)\] 在频域中：
\[F_s(ω)=F(ω)*P(t)\]

理想取样

\(p(t)\)是周期单位冲激信号\(δ_T(t)=∑δ(t-nT_s)\)。 \[\begin{aligned} P(ω)&=ω_s∑δ(ω-nω_s)\\ F_s(ω)&=\frac{1}{2π}F(ω)*P(t) \\ &=\frac{1}{T_s}∑F(ω-nω_s) \end{aligned}\] 如果取样频率\(ω_s\)（表现为冲激信号的间隔）非常的小，那么频域上取样后的信号可能会产生重叠。
如果取样频率非常的大，那么信号会丢失非常多的细节，导致失真。

方波取样

\(p(t)\)是周期方波信号。 \[\begin{aligned} F_s(ω)&=\frac{1}{2π}F(ω)*P(t) \\ &=\frac{Eτ}{T_s}∑Sa(\frac{nω_sτ}{2})F(ω-nω_s) \end{aligned}\]

信号复原

信号复原的基本思路是利用低通滤波器在频域内设定过滤出0到\(ω_1\)内（一个周期内）的信号频谱\(F_0(ω)\)，用傅里叶反变换得到\(f_0(t)\)。