07. 拉普拉斯变换
本文最后更新于 2023年10月20日 上午
拉普拉斯变换
傅里叶变换的局限性
- 使用傅里叶变换的条件是\(f(t)\)必须要满足狄利赫里条件，即必须要满足有界、绝对可积和有有限个间断点三个条件。
有些信号并不满足绝对可积的条件，因此这些信号不能被应用傅里叶变换。
- 傅里叶变换中的无穷积分比较困难。
对于不满足狄利赫里条件的信号，可以用拉普拉斯变换进行处理。
拉普拉斯变换的基本原理
拉普拉斯变换的基本思想是将\(f(t)\)乘上一个衰减系数：\(AF\)(Attenuation factor)以改善\(f(t)\)的收敛性，使得\(f(t)AF\)满足狄利赫里条件。
通用的衰减系数是\(e^{-σt}\)。
因此\(f(t)AF\)的傅里叶变换写作：
\[F(ω)=F[(f(t)e^{-σt})]=∫f(t)e^{-σt}e^{-jωt}dt=∫f(t)e^{-(σ+jω)t}dt\]
令\(s=(σ+jω)\)，得到拉普拉斯变换的定义式：
\[L[f(t)]=F(s)=F(σ+jω)=∫f(t)e^{-st}dt\]
对于LIT系统，\(f(t)=0,t<0\)，因此：
\[L[f(t)]=F(s)=∫_0^∞f(t)e^{-st}dt\]
存在条件/收敛域
保证拉普拉斯变换存在的条件是\(f(t)AF\)满足满足狄利赫里条件。 使得拉普拉斯变换成立的定义域称为收敛域(RoC)。其应当是使得\(F(s)\)存在的\(s\)的范围。即\(f(t)\)应当满足： \[lim_{t→∞}f(t)e^{-σt}=0\]
拉普拉斯反变换
傅里叶反变换的定义式：
\[f(t)=\frac{1}{2π}∫F(ω)e^{jωt}dω\]
带入\(f(t)e^{-σt}\): \[f(t)e^{-σt}=\frac{1}{2π}∫F(σ+jω)e^{jωt}dω\]
将两边同时乘上\(e^{σt}\):
\[f(t)=\frac{1}{2π}∫F(σ+jω)e^{(σ+jω)t}dω\]
带入\(s=σ+jω\)并替换积分域，得到拉普拉斯反变换的定义式：
\[f(t)=\frac{1}{2πj}∫_{σ-j∞}^{σ+j∞}F(s)e^{st}ds\]
拉普拉斯变换对包含拉普拉斯变换和反变换的定义式。
拉普拉斯变换的一般形式和反变换求解
\(f(t)\)经拉普拉斯变换后的\(F(s)\)可以用多项式分数的形式进行表达：
\[F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{∑a_ms^m}{∑b_ns^n}\]
倘若\(m<n\)，则\(F(s)\)是一个真分数，可以上下做多项式除法，得到：
\[F(s)=\frac{a_m(s-z_1)(s-z_2)L(s-z_m)}{b_n(s-p_1)(s-p_2)L(s-p_n)}\]
其中\(z\)表示\(F(s)\)的时域变换\(f(t)\)中的零点，\(p\)表示\(F(s)\)的时域变换\(f(t)\)中的指数系数，称为极点(Pole)。
真分数意味着\(F(s)\)在无穷处收敛的概率很大，因此拉普拉斯变换后的式子具有高稳定性的特点。
在单阶实数极点（Single-order real poles）的条件下：
\[F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_1)(s-p_2)L(s-p_n)}\]
那么\(F(s)\)经过多项式除法/因式分解之后可以写作：
\[F(s)=∑_{i=1}^\frac{k_i}{s-p_i}+L\]
可以得到：
\[f(t)=∑_{i=1}^{n}k_ie^{p_it}\]
另外两种关于\(F(s)\)极点的情况： 1. 共轭复数
2. 多根
本节不会讨论
拉普拉斯变换的性质
- 线性（同傅里叶变换）
- 变换操作
- 时移特性（同傅里叶变换）
- 频移特性:\(f(t)e^{-αt}→F(s+α)\)
- 尺度变换（同傅里叶变换）
- 时移特性（同傅里叶变换）
- 积分和微分（时域）
- 微分
一阶微分：\(\frac{df(t)}{dt}→sF(s)-f(0\_)\)
二阶微分：\(\frac{df^2(t)}{dt}→s[sF(s)-f(0\_)]-f'(0\_)\)
- 积分
\(∫_{-∞}^tf(τ)dτ→\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0\_)}{s}\)
证明过程是将积分域分解为\([-∞,0]\)（表示初始状态）和\([0,t]\)两段。
- 微分
- 积分和微分（频域）
- n阶微分
\(L[t^nf(t)]=(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}\)
- 积分
\[L[\frac{f(t)}{t}]=∫_s^∞F(s)ds\]
- n阶微分
初值定理
如果\(f(t)\)可积可被拉普拉斯变换，\(f(t)\)在\(0_+\)时刻的值（即初值）可以通过如下公式求得：
\[f(0_+)=lim_{s→∞}sF(s)\]
终值定理
如果\(f(t)\)可积可被拉普拉斯变换，\(f(t)\)在\(∞\)时刻的值（即初值）可以通过如下公式求得：
\[lim_{t→∞}f(t)=lim_{s→0}sF(s)\]
卷积理论
拉普拉斯变换的卷积理论与傅里叶变换的卷积理论大抵相同，但是要注意对于时域中乘法的变换在频域中卷积项的参数是\(\frac{1}{2πj}\)。 \[L[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)F_2(s)\] \[L[f_1(t)f_2(t)]=\frac{1}{2πj}F_1(s)*F_2(s)\]
常见信号的拉普拉斯变换
阶跃信号
\[\begin{aligned} L[u(t)] & =∫_0^∞u(t)e^{-st}dt \\ &=∫_0^∞e^{-st}dt \\ &=\frac{1}{s} \end{aligned}\] > 对于直流信号（常数）信号\(f(t)=t_0\)，可以在其后乘上一个\(u(t)\)做拉普拉斯变换，得到\(L[t_0]=\frac{t_0}{s}\)。
指数信号
\[\begin{aligned} L[e^{-(α+jβ)t}]&=∫_0^∞e^{-(α+jβ)t}e^{-st}dt \\ &=\frac{1}{s+α+jβ} \end{aligned}\]
单位冲激信号及时移
\[L[δ(t)]=1\] \[L[δ(t-t_0)]=e^{-st_0}\]
斜坡信号
\[\begin{aligned} L[tu(t)]&=∫_0^∞te^{-st}dt\\ &=\frac{1}{s^2} \end{aligned}\]
拉普拉斯变换法求解系统微分方程
系统方程与全响应
以时域函数\(f(t)\)的拉普拉斯变换\(F(s)\)的微分特性：
>一阶微分：\(\frac{df(t)}{dt}→sF(s)-f(0\_)\)
>二阶微分：\(\frac{df^2(t)}{dt}→s[sF(s)-f(0\_)]-f'(0\_)\)可以将微分方程以拉普拉斯变换从时域变换至频域。
对于描述系统的微分方程将其做拉普拉斯变换： \[F_{out}(R(s),s)=F_{in}(E(s),s)\]带入初始条件和给定的题目条件中的一些\(r(t)\)在特定时刻下的值，得到方程
解出频域内的\(R(s)\)
用待定系数法展开多项式分式并用拉普拉斯反变换得到\(r(t)\)
零输入响应
法1
对于描述系统的微分方程，整理出关于\(R(s)\)的等式：
\[R(s)=F_{多项式分式}(r(t_0),s)+F_{多项式分式}(E(s),s)\]
其中含有某些初始状态\(r(t_0)\)的多项式分式是零输入响应，含有\(E(s)\)的多项式分式是零状态响应。
选取含有\(r(t_0)\)的多项式分式，带入初始状态即可得到零输入响应\(R_{zi}(s)\)。
利用拉普拉斯反变换得到\(r_{zi}(t)\)。
法2
- 令\(E(s)=0\)，重新写出此时的系统微分方程： \[F_{out}(R(s),s)=0\]
- 带入初始条件和给定的题目条件中的一些\(r(t)\)在特定时刻下的值，得到方程
- 解出频域内的\(R_{iz}(s)\)
- 用待定系数法展开多项式分式并用拉普拉斯反变换得到\(r_{iz}(t)\)
零状态响应
法1
对于描述系统的微分方程，整理出关于\(R(s)\)的等式：
\[R(s)=F_{多项式分式}(r(t_0),s)+F_{多项式分式}(E(s),s)\]
其中含有某些初始状态\(r(t_0)\)的多项式分式是零输入响应，含有\(E(s)\)的多项式分式是零状态响应。
选取带有系统输入\(E(s)\)的多项式分式，由\(L(δ(t))→1\)带入\(E(s)=1\)，得到系统的零状态响应\(R_{zs}(s)\)。
利用拉普拉斯反变换得到\(r_{zs}(t)\)
法2
求解到\(r(t)\)与\(r_{iz}(t)\)后，利用 \[r_{zs}(t)=r(t)-r_{iz}(t)\] 间接求解到\(r_{zs}(t)\)。
用拉普拉斯变换分析电路
将电路中主要元件的电压电流关系进行拉普拉斯变换：
电阻：
\[R=\frac{V(s)}{I}\]
电容：
由时域：\(v(t)=\frac{1}{C}∫i(t)dt\)
\[V(s)=I(s)\frac{1}{sC}+\frac{1}{s}v_c(0_-)\]
电容的阻抗（容抗）：
\[Z_c=\frac{1}{sC}\]
电感：由时域：\(v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\)
\[V(s)=I(s)Ls-Li(0_-)\]
电感的阻抗（感抗）： \[Z_L=sL\]
电路的分析方法仍然遵循KCL和KVL。