08. Z变换

Z变换

Z变换的基本原理

Z变换的本质是通过采样使得离散信号可以被拉普拉斯变换，因此z变换的对象是离散信号/序列。
其具体过程如下：
由第六讲中提到的采样定理，对于连续序列\(x(t)\)，对其做自然采样：
\[\begin{aligned} x_s(t)&=x(t)δ_T(t) \\ &=x(t)∑δ(t-nT) \\ &=∑x(nT)δ(t-nT) \\ \end{aligned}\] 对其做拉普拉斯变换：
\[X_s=L[x_s(t)]\] \[\begin{aligned} L[x_s(t)]&=L[∑x(nT)δ(t-nT)] \\ &=∑x(nT)L[δ(t-nT)]\\ &=∑x(nT)e^{-snT} \end{aligned}\] 令\(z=e^{sT}\),得到Z变换的定义式： \[X(z)=∑x(n)z^{-n}\] 在LTI系统中\(n>0\)，Z变换的定义式可以写作： \[X(z)=∑_{n=0}^∞x(n)z^{-n}\]

存在条件/收敛域

使得序列\(x(n)\)能够被z变换的条件是序列\(x(n)\)收敛，即：
\[∑|x(n)z^{-n}|<∞\] 上述条件为z变换的收敛域。

Z反变换

Z变换式的一般形式

序列\(x(n)\)的z变换式\(X(z)\)的一般形式可以写作由两个多项式组成的分式：
\[X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{∑b_mz^m}{∑a_nz^n}\] 当极点为一阶时,对等式两边同时除以\(z\)以提取常系数\(A\)：
\[\frac{X(z)}{z}=∑_{i=1}^N\frac{A_i}{z-z_i}\] 其中\(A_i=(z-z_i)\frac{X(z)}{z}|_{z=z_i}\)。
再乘上\(z\)：
\[X(z)=∑_{i=1}^N\frac{A_iz}{z-z_i}\] 其中\(A_i\)为\(x(n)\)的常系数，\(z_i\)为底数。 对应的\(x(n)\)： \[x(n)=∑_{i=0}^∞A_i(z_i)^n,n≥0\]

另外两种关于\(X(z)\)极点结构的情况：
1. 共轭复数
2. 多根
本节不会讨论

Z变换的性质

1. 线性（同傅里叶变换）

   线性需要要求两个序列收敛域有公共部分，如果两者没有公共收敛域，那么无法Z变换不具有线性。

2. 变换操作

   • 双侧时移
     时移前后信号形状保持不变。
     右移：\(Z[x(n-m)]=z^{-m}X(z)\)
     左移：\(Z[x(n+m)]=z^{m}X(z)\)
     

   • 单侧时移
     时移后图像\(n<0\)的部分被消去。
     右移:\(Z[x(n-m)u(n)]=z^{-m}[X(z)-∑_{k=-m}^{-1}x(k)z^{-k}]\)
     左移:\(Z[x(n+m)u(n)]=z^m[X(z)-∑_{k=0}^{m-1}x(k)z^{-k}]\)

   • 线性权重
     \(Z[nx(n)]=-z\frac{dX(z)}{dz}=-z^{-1}\frac{dX(z)}{dz^{-1}}\)

   • 尺度变换（z频域）
     \(Z[a^nx(n)]=X(\frac{z}{a})\)

   初值定理

   如果\(x(n)\)具有因果性且可以被Z变换，有： \[x(0)=\lim_{x→∞}X(z)\]

   终值定理

   如果\(x(n)\)具有因果性且可以被Z变换，有： \[\lim_{x→∞}x(n)=\lim_{z→1}[(z-1)X(z)]\]

   卷积理论

   \[Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)\] \[Z[x(n)h(n)]=X(z)*H(z)\] 收敛域为两者的公共收敛域：\(max(R_{xmin},R_{hmin})<|z|<min(R_{xmax},R_{hmax})\)

常见信号的Z变换

单位冲激序列

\[Z[δ(n)]=∑δ(n)z^{-n}=1\]
收敛域：整个z域

单位阶跃序列

\[\begin{aligned} Z[u(n)]&=∑u(n)z^{-n}\\ &=1+z^{-1}+z^{-2}+...+z^{-n}\\ &=\frac{z}{z-1} \end{aligned}\] 收敛域：\(|z|>1\)

斜坡序列

由单位阶跃序列的变换对：\(Z[u(n)]=∑_{n=0}^∞z^{-n}=\frac{z}{z-1}\)求导
\[\begin{aligned} (∑_{n=0}^∞z^{-n})'&=(\frac{z}{z-1})'\\ -∑_{n=0}^∞nz^{-n+1}&=-\frac{1}{(1-z^{-1})^2}\\ ∑_{n=0}^∞nz^{-n+1}&=\frac{1}{(1-z^{-1})^2}\\ \text{两边同时乘以}z^{-1}:\\ Z[nu(n)]&=\frac{z}{(z-1)^2} \end{aligned}\] 收敛域：\(|z|>1\)
推广： \[Z[n^mx(n)]=[z^{-1}\frac{d}{dz^{-1}}]^mX(z)\]

指数序列

\[\begin{aligned} Z[a^nu(n)]&=∑a^nz^{-n}\\ &=∑(\frac{a}{z})^n\\ &=\lim_{n→∞}\frac{1-(\frac{a}{z})^{n+1}}{1-\frac{a}{z}} \end{aligned}\] 当\(|\frac{a}{z}|<1\)时序列收敛，此时可以简化为： \[Z[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a}\] 收敛域：\(|z|>|a|\)

三角函数序列

由指数序列的变换对带入\(sin(n)\)和\(cos(n)\)的欧拉公式中：
\[Z[cos(ω_0n)u(n)]=\frac{z(z-cosω_0)}{z^2-2zcosω_0+1}\] \[Z[sin(ω_0n)u(n)]=\frac{zsinω_0}{z^2-2zcosω_0+1}\] 收敛域：\(|z|>1\)

Z变换法求解系统差分方程

对于描述系统的差分方程，可以对两边做Z变换： \[F_{out}(Y(s),s)=F_{in}(X(s),s)\] 整理出关于\(Y(z)\)的方程，即系统的全响应： \[Y(z)=F_{多项式分式}(y(n_0),s)+F_{多项式分式}(E(s),s)\] 其中含有某些初始状态\(y(n_0)\)的多项式分式是零输入响应，含有\(E(s)\)的多项式分式是零状态响应。