附录1：冲激函数的特性·常见信号的傅里叶/拉普拉斯/Z变换

常见信号的傅里叶/拉普拉斯/Z变换

冲激函数的特性

冲激函数的特性

特性	公式
赋值性	\(∫δ(t)f(t)dt=f(0)\)
	\(f(t)δ(t)=f(0)δ(t)\)
偶函数	\(δ(t)=δ(-t)\)
缩放	\(δ(at)=\frac{1}{ \vert a \vert }δ(t)\)

冲激偶函数的特性

特性	公式
赋值性	\(∫δ'(t)f(t)dt=-f'(0)\)
	\(f(t)δ'(t)=f(0)δ'(t)-f'(0)δ(t)\)
奇函数	\(δ'(t)=-δ'(t)\)

常见函数的傅里叶变换

傅里叶变换：\(F(ω)=∫f(t)e^{-jωt}dt\)
傅里叶反变换：\(f(t)=∫F(ω)e^{jωt}dω\)

名称	时域函数\(f(t)\)	频域函数\(F(ω)\)
门函数	\(E[u(t+\frac{τ}{2})-u(t-\frac{τ}{2})]\) \(E,-\frac{τ}{2}<t<\frac{τ}{2}\)	\(\frac{2Esin(ω\frac{τ}{2})}{ω}=EτSa(\frac{ωτ}{2})\)
直流信号/常函数	\(E\)	\(2πEδ(ω)\)
冲激函数	\(δ(t)\)	\(1\)
冲激偶函数	\(δ'(t)\)	\(jω\)
单侧指数函数	\(Ee^{-at}u(t)\)	\(\frac{E}{jω+a}\)
-	-	-
周期冲激序列	\(δ_T(t)\)	\(ω_1δ(ω-nω_1)\)
周期方波/门函数序列	-	\(EτSa(\frac{ωτ}{2})ω_1δ(ω-nω_1)\)
正弦函数	\(sin(ω_0t)\)	\(-jπδ(ω-ω_0)+jπδ(ω+ω_0)\)
余弦函数	\(cos(ω_0t)\)	\(πδ(ω-ω_0)+πδ(ω+ω_0)\)

常见函数的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：\(L(s)=∫f(t)e^{-st}dt\)
拉普拉斯反变换：\(F(s)=∑\frac{k}{s-p}↔f(t)=∑ke^{pt}\) （一阶实极点）

名称	时域函数\(f(t)\)	频域函数\(L(s)\)
阶跃函数	\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)
冲激函数	\(δ(t)\)	\(1\)
单侧指数函数	\(Ee^{-at}u(t)\)	\(\frac{E}{s+a}\)
斜坡函数	\(tu(t)\)	\(\frac{1}{s^2}\)
正弦函数	\(sin(ω_0t)\)	\(\frac{1}{s^2+ω_0^2 }\)
余弦函数	\(cos(ω_0t)\)	\(\frac{s}{s^2+ω_0^2}\)

常见序列的Z变换

Z变换：\(X(z)=∑x(n)z^{-n}\)
Z反变换：\(X(z)=z(\frac{A}{z-p_i})⟷x(n)=∑A(p_i)^n\)(一阶单极点)

名称	时域序列\(x(n)\)	频域序列\(X(z)\)	收敛域
单位冲激序列	\(δ(n)\)	\(1\)	整个z域
单位阶跃序列	\(u(n)\)	\(\frac{z}{z-1}\)	\(⃒ z ⃒ <1\)
斜坡序列	\(nu(n)\)	\(\frac{z}{(z-1)^2}\)	\(⃒ z ⃒ <1\)
单侧指数序列	\(a^nu(n)\)	\(\lim_{n→∞}\frac{1-(\frac{a}{z})^{n+1}}{1-\frac{a}{z}}\)	\(⃒ z ⃒ >⃒ a ⃒\)
单侧正弦序列	\(sin(ω_0n)u(n)\)	\(\frac{zsinω_0}{z^2-2zcosω_0+1}\)	\(⃒ z ⃒ >1\)
单侧余弦序列	\(cos(ω_0n)u(n)\)	\(\frac{z(z-cosω_0)}{z^2-2zcosω_0+1}\)	\(⃒ z ⃒ >1\)