附录2：冲激信号·卷积·傅里叶/拉普拉斯/Z变换的运算性质

冲激信号的性质

采样性质：
\(δ(t)f(t)=f(0)δ(t)\)
\(∫δ(t)f(t)dt=f(0)\)

对称:
\(δ(t)=δ(-t)\)

尺度变换：
\(δ(at)=\frac{1}{\lvert a\rvert}δ(t)\)

卷积性质：
\(f(t)*δ(t)=δ(t)\)

\(f(t)*δ(t-t_0)=f(t-t_0)\)

冲激偶的性质

尺度变换：
\(δ'(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a}δ'(t)\)
积分性质：
\(∫δ'(t)dt=0\)
\(∫δ'(t)f(t)dt=-f'(0)\)

卷积性质：
\(f(t)*δ'(t)=f'(t)\)

卷积的性质

交换律、结合律、分配律
微分性质：
\(g'(t)=f(t)h'(t)=f'(t)*h(t)\)

\(g^{(n-m)}(t)=f^{(n)}(t)\*h^{(-m)}(t)=f^{(-m)}(t)\*h^{(n)}(t)\)

任何函数都可以表示为自己和冲激函数的卷积：
\[f(t)=f(t)*δ(t)\]

傅里叶/拉普拉斯/z变换的性质

傅里叶变换

注解	时域	频域
对偶性	\(2πf(-ω)\)	\(F(t)\)
尺度变换	\(f(at)\)	\(\frac{1}{\lvert a\rvert}F(\frac{ω}{a})\)
时移	\(f(t-t_0)\)	\(F(ω)e^{-jωt_0}\)
频移	\(f(t)e^{-jω_0t}\)	\(F(ω+ω_0)\)
时域微分	\(f'(t)\)	\(jωF(ω)\)
频域微分	\(-jtf(t)\)	\(F'(ω)\)
时域积分	\(∫f(t)dt\)	\(πF(0)δ(ω)+\frac{F(ω)}{jω}\)

拉普拉斯变换

注解	时域	频域
时移	\(f(t-t_0)\)	\(F(ω)e^{-t_0s}\)
频移	\(f(t)e^{-at}\)	\(F(s+a)\)
时域微分（一阶）	\(f'(t)\)	\(sF(s)-f(0)\)
时域微分（二阶）	\(\frac{df^2(t)}{dt}\)	\(s[sF(s)-f(0)]-f'(0)\)
频域微分	\(t^nf(t)\)	\((-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}\)
时域积分	\(∫f(t)dt\)	\(\frac{F(s)}{s}+\frac{f'(0)}{s}\)
频域积分	\(\frac{f(t)}{t}\)	\(∫F(s)ds\)

初值定理: \(f(0_+)\lim_{s→∞}sF(s)\)
终值定理：\(\lim_{t→∞}f(t)=\lim_{s→0}sF(s)\)
卷积理论：\(L[f(t)h(t)]=\frac{1}{2πj}F(s)*H(s)\)

z变换

注解	时域	频域
双侧时移	\(x(n+m)\)	\(z^mX(z)\)
尺度变换（时域）	\(nx(n)\)	\(-z\frac{dX(z)}{dz}\)
尺度变换(z域)	\(a^nx(n)\)	\(X(\frac{z}{a})\)

初值定理: \(x(0_+)\lim_{x→∞}sX(z)\)
终值定理：\(\lim_{n→∞}x(n)=\lim_{z→1}(z-1)X(z)\)
卷积理论：\(Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)\)