02. 信号

信号

信号的分类

直流信号和交流信号

任意信号可以分解为直流信号和交流信号：
\[S(t)=S_{ac}(t)+S_{dc}(t)\] 直流信号是信号在一周期内的平均值：
\[S_{dc}=\lim_{T→∞}∫_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}S(t)dt\] 由于直流信号是一个常量，直流信号不包含任何信息。

确知信号和随机信号

在任意时间上的信号参数为已知的信号为确知信号，以\(f(t)\)表示。
信号参数无法被预测的信号称为随机信号，以\(p(t)\)表示。

能量信号和功率信号

已知确知信号的瞬时能量函数\(f(t)\)，其能量可以表示为：
\[E=∫|f(t)|^2dt\] 根据绝对可积性，并将式子中的其中一个\(f*(t)\)替换为傅里叶反变换表达，得到：
\[E=\frac{1}{2π}∫|F(ω)|^2dω\] 其中令\(E_f(ω)=|F(ω)|^2\)，定义为能量谱密度函数。
那么能量信号可以写作：
\[E=\frac{1}{2π}∫E_f(ω)dω\] 能量信号的自相关函数：
\[r(τ)=∫f(t)f(t+τ)dt\]

其功率信号可以表示为：
\[P=\lim_{T→∞}\frac{1}{T}∫_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt\]
同样地，定义功率谱密度函数为：
\[P_f(ω)=\lim_{T→∞}\frac{|F_T(ω)|^2}{T}\] 其中\(F_T\)为周期函数\(f(t)\)的重复单位\(f_t(t)\)的傅里叶变换。
那么平均功率可以写作：
\[P=\frac{1}{2π}∫P_f(ω)dω\] 功率信号的自相关函数：
\[r(τ)=\lim_{T→∞}\frac{1}{T}∫_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)f(t+τ)dt\]

维纳——辛钦定理

能量信号的自相关函数和能量谱密度函数为傅里叶变换对。
\[E_f(t)=∫R(f_e(t))e^{-jωt}dt\] 功率信号的自相关函数和功率谱密度函数为傅里叶变换对。
\[P_f(t)=∫R(f_p(t))e^{-jωt}dt\] 由维纳——辛钦定理可知，当已知能量信号和功率信号时，对其求自相关函数后做傅里叶变换即可得到对应的谱密度函数。

常见的两种信号

单位冲激信号

单位冲激信号的表达式：
\[δ(t)=\begin{cases} ∞,t=0 \\ 0,t≠0 \\ \end{cases}\] 冲激信号的性质：
1. \(∫δ(t)dt=1\) 2. \(∫s(t)δ(t-t_0)dt=s(t_0)\)

门信号

\[g(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\] 其中\(τ\)称为门函数的宽度。

傅里叶变换

在信号与系统中定义傅里叶变换：
\[F[f(t)]=∫f(t)e^{-jω_1t}dt\]
傅里叶反变换：
\[f(t)=\frac{1}{2π}∫F(ω)e^{jωt}dω\]

采样定理

模拟信号转数字信号

模拟信号\(f(t)\)转换为数字信号经过三步： 1. 取样 2. 量化 3. 编码

其中取样的本质是\(f(t)\)与一个周期信号\(p(t)\)相乘。 \[f_s(t)=f(t)p(t)\] 在频域中：
\[F_s(ω)=F(ω)*P(t)\]

理想取样

\(p(t)\)是周期单位冲激信号\(δ_T(t)=∑δ(t-nT_s)\)。 \[\begin{aligned} P(ω)&=ω_s∑δ(ω-nω_s)\\ F_s(ω)&=\frac{1}{2π}F(ω)*P(t) \\ &=\frac{1}{T_s}∑F(ω-nω_s) \end{aligned}\] 如果取样频率\(ω_s\)（表现为冲激信号的间隔）非常的小，那么频域上取样后的信号可能会产生重叠。
如果取样频率非常的大，那么信号会丢失非常多的细节，导致失真。