02. 数字系统

数字系统

系统的特性

线性

线性系统满足两个特点：齐次性和可加性。
#### 齐次性 如果\(x[n]→T→y[n]\)，有：
\[Ax[n]→T→Ay[n]\] 称系统具有齐次性。
#### 可加性 如果\(x_1[n]→T→y_1[n]\)、\(x_2[n]→T→y_2[n]\)，有：
\[x_1[n]+x_2[n]→T→y_1[n]+y_2[n]\] 称系统具有可加性。

同时满足齐次性和可加性的系统称为线性系统。

时不变性

系统中如果输入的时移会导致系统输出的同步时移，这样的系统称为时不变系统：
如果\(x[n]→T→y[n]\)，有：
\[x[n-n_0]→T→y[n-n_0]\]

稳定性

如果系统的输入和输出都有界，那么称系统是稳定的。
\[x[n]<∞,y[n]<∞\]

无记忆性

当前系统的输出只依赖于当前的系统输入、而不依赖于之前的系统输入的系统称为无记忆系统。

因果性

当前系统的输出\(y[n]\)不会依赖于未来的系统输入:\(x[n+n_0],n_0∈Z^*\)，这样的系统称为因果系统。

无记忆系统一定是因果系统。

非因果系统可以通过设置延时器转换为因果系统。

卷积和

定义离散信号的卷积称为卷积和：
\[∑_{k}x[k]h[n-k]=x[n]*h[n]\]

单位采样响应

对于给定的系统\(T[·]\)，当系统输入为单位冲击序列\(δ[n]\)时的系统输出\(h[n]\)称为单位采样响应。
\[h[n]=T[δ[n]]\] 对于线性系统：\(x[n]→T→y[n]\)，
由齐次性：\(x[0]δ[n]→T→x[0]h[n]\)
由时不变性：\(x[k]δ[n-k]→T→x[k]h[n-k]\)
由单位冲激序列的采样特性：\(x[n]=∑x[k]δ[n-k]\)
因此：
\[y[n]=∑x[k]h[n-k]=x[n]*h[n]\] 即系统输出\(y[n]\)可以表示为系统输入\(x[n]\)与单位采样响应\(h[n]\)的卷积。

卷积和的运算性质

1. 线性：\(x[n]\*(h_1[n]+h_2[n])=x[n]\*h_1[n]+x[n]\*h_2[n]\)
   

   线性揭示了卷积和运算可以被并行化处理

2. 交换律：\(x[n]\*h_1[n]\*h_2[n]=x[n]\*h_2[n]*h_1[n]\)
   

3. 结合律：\(x[n]\*h_1[n]\*h_2[n]=x[n]\*(h_1[n]*h_2[n])\)

数字系统方程

数字系统可以由差分方程进行描述：
\[∑_{k=0}^Na_ky[n-k]=∑_{k=0}^Mb_kx[n-k]\] 其中系统方程的阶\(N\)由系统最前输出\(y[n-N]\)决定。

数字系统的频率响应·离散时间傅里叶变换

类比于连续时间傅里叶变换，称\(e^{jωn}\)为特征函数（Eigenfuntion）。对于数字系统，当系统的输入为特征函数时：
\[y[n]=∑h[k]e^{jω(n-k)}=e^{jωn}∑h[k]e^{-jωk}\] 这个变换式称为离散时间傅里叶变换。
称\(∑h[k]e^{-jωk}\)为数字系统的频率响应：
\[H(e^{jω})=∑h[k]e^{-jωk}\] 其反变换：
\[h[n]=\frac{1}{2π}∫_{-π}^{π}H(e^{jω})e^{jωn}dω\]