11. 数字基带系统的抗噪性分析

本文最后更新于 2023年10月20日上午

数字基带系统的抗噪性分析

抽样判决器

在接收端，设通过接收端滤波器的信号为\(x(t)\)，它由传输信息\(s(t)\)和窄带高斯白噪声\(n_R(t)\)两部分构成。接下来，信号\(x(t)\)将通过抽样判决器，抽样判决器以\(f_s\)的抽样频率对其进行抽样，并对每一个抽样结果进行判断，决定抽样结果为数字逻辑“1”还是逻辑“0”。抽样判决器的工作原理可以表示为：
\[m'(kT_s)=\begin{cases} 1, x(kT_s)>V_d\\ 0,x(kT_s)<V_d \end{cases}\] \(V_d\)称为判决阈值。
## 误码率数字基带系统在抽样判决器处的判决错误是产生误码率的重要原因，误码率\(P_e\)可以表示为两个条件概率之和：
\[P_e=P(0)P(\frac{1}{0})+P(1)P(\frac{0}{1})\] \(P(0)P(\frac{1}{0})\):原本的电平为0，误判为1的概率。
\(P(1)P(\frac{0}{1})\)：原本的电平为1，误判为0的概率。

抽样判决器判决错误的主要原因是\(x(t)\)中包含的窄带高斯白噪声\(n_R(t)\)对判决结果产生了影响。
设\(n_R(t)\)的方差为\(σ_n^2\)、均值为0，则其概率密度函数为：
\[f(n)=\frac{1}{√(2π)σ_n}e^{-\frac{n^2}{2σ_n^2}}\] 并假设\(s(t)\)在为逻辑“0”的时刻电平为0，在为逻辑“1”的时刻电平对应其幅值\(A\)，那么\(x(kT_s)\)可以表示为：
\[x(kT_s)=\begin{cases} A+n_R(kT_s),logic-1\\ n_R(kT_s),logic-0 \end{cases}\] 那么，在发送逻辑“0”的时刻，\(x(kT_s)\)只包含\(n_R(t)\)，发送“0”的概率密度函数为：
\[f_0(x)=\frac{1}{√(2π)σ_n}e^{-\frac{n^2}{2σ_n^2}}\] 当\(x(kT_s)\)的值大于\(V_d\)时，抽样判决器将原本为0的电平\(x(kT_s)\)误判为1，该概率可以表示为：
\[P_{e0}=∫_{V_d}^∞f_0(x)dx=∫_{V_d}^∞\frac{1}{√(2π)σ_n}e^{-\frac{n^2}{2σ_n^2}}dx\] 同理可以得到，当\(x(kT_s)\)的值小于\(V_d\)时原本抽样判决器原本为1的电平\(x(kT_s)\)误判为0，该概率可以表示为：
\[P_{e1}=∫_∞^{V_d}f_0(x)dx=∫_∞^{V_d}\frac{1}{√(2π)σ_n}e^{-\frac{n^2}{2σ_n^2}}dx\] 那么总的误码率就可以表示为：
\[P_e=P(0)P_{e0}+P(1)P_{e1}\]

图示中的涂色部分表示误码率的两个条件概率，可以发现，只有当\(V_d=\frac{A}{2}\)时，“额外的概率”（图中红色部分所示）才能被抵消为0，此时误码率最小，\(V_d=\frac{A}{2}\)称为优化阈值。
在优化阈值下重新计算误码率，可以得到：
\[P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{A}{2√2σ_n})\] \(A\)与信号的功率有关，\(σ_n\)与噪声的功率有关。可以发现，在优化阈值下，影响误码率的唯一因素为信噪比。
对于单极性信号，其平均功率为\(S=\frac{A^2}{2}\)，因此单极性信号的信噪比为：
\[SNR_u=\frac{A^2}{2σ^2}\] 此时误码率为：
\[P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{√SNR_u}{2})\] 对于双极性信号，其平均功率为\(S={A^2}\)，因此双极性信号的信噪比为：
\[SNR_b=\frac{A^2}{σ^2}\] 此时误码率为：
\[P_e=\frac{1}{2}erfc(√{\frac{SNR_b}{2}})\] 比较两者的误码率，可以发现双极性信号的误码率总是优于单极性信号的误码率。